Bisectrices e incentro

 Bisectrices e incentro de un triángulo

Comencemos por el concepto de bisectriz de un ángulo.

Definición:  La semirrecta con origen en el vértice que divide a un ángulo en dos ángulos iguales se denomina bisectriz del ángulo. 

Propiedad: Los puntos de la bisectriz de un ángulo se encuentran a la misma distancia de los lados del mismo.
Si movemos el punto P en el applet, que observamos a continuación, podremos visualizar la propiedad.

Todo triángulo tiene tres ángulos por lo que existen tres bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo.

Las tres bisectrices concurren en un punto que se denomina Incentro y que es centro de una circunferencia que es tangente a los lados del triángulo, denominada circunferencia inscripta.

Es muy sencillo comprobar esta propiedad si haces clic en las casillas Bisectrices, Incentro y Circunferencia Inscripta.

Consideremos la intersección de la bisectriz del ángulo A y la del B y llamemos I al punto de corte de ambas.
 

El punto I pertenece a las bisectrices de los ángulos de vértices A y B del triángulo, por la propiedad que cumplen los puntos de la bisectriz las distancias de I a las rectas AB y AC son iguales y las distancias de I a las rectas  BA y BC también. Por lo tanto, las distancias de I a las rectas CA y CB son iguales, de lo que se deduce que el punto I pertenece a la bisectriz del ángulo de vértice C.

Como las distancias de I a los tres lados del triángulo son iguales entonces si trazo la circunferencia con centro I y de radio esa distancia obtengo una circunferencia que es tangente a los tres lados que se denomina circunferencia inscripta.

Bibliografía:

Borbonet, M., Burgos,B., Martínez, A. y Ravaioli, N. (2007). Matemática2, Grupo Botadá. Montevideo: Fin de Siglo