Problema de optimización- Rectángulo inscrito de área máxima

Optimización de funciones

Interactuando con el siguiente applet podremos analizar la situación y conjeturar la solución.

Selecciona y mueve los vértices A o B para cambiar las dimensiones del rectángulo y analizar cuál es el rectángulo de área máxima.

Podemos analizar que las dimensiones de los lados de los rectángulos están relacionadas ya que las diagonales de los mismos miden 1 unidad, al ser diámetros de la circunferencia.

Si denominamos x y a a los lados de los rectángulo podremos escribir la siguiente igualdad que las relaciona a partir del teorema de Pitágoras:
 

Y despejando el lado de longitud a en función del de longitud  x obtendremos:

Podemos entonces plantear el área de los rectángulos en función de x obteniendo la siguiente expresión de la función área:
 

Con el siguiente applet es posible analizar la variación de dicha área en función del valor de x.

Mueve el deslizador x y podrás observar la variación de crecimiento de la función área encontrada.

Si seleccionas la casilla de control "función área"  verás la expresión analítica de dicha función.

Trabajando con ambos applets ya puedes haber conjeturado cuál es la medida del lado x, que es la solución del problema.

Una posible solución del problema usando derivadas.

Derivar la función y estudiando el signo de dicha derivada encontraremos el valor de x para que dicha área sea máxima.

Solución:

Signo de la función derivada:
 

El área máxima se obtiene si :

Y podemos observar que el rectángulo de área máxima es el cuadrado.

Dicha solución puede ser corroborada en GeoGebra  usando los comandos derivada y máximo en la barra de entrada.

Bibliografía: Guzmán, M., Cólera, J. y Salvador, A. (1988). Matemáticas. Bachillerato 3. Grupo Anaya. Madrid