Funciones derivables- Teoremas de Rolle y de Lagrange

Actividad 1:
Dibuja una función continua en [a,b] y derivable en (a,b) con f(a) = f(b).

¿Existen puntos en (a,b) en los cuales la derivada es 0?

¿Podrías dibujar una función que cumpla las mismas condiciones y en la que no haya ningún punto con derivada 0?

Puedes ver en el siguiente applet de GeoGebra lo que acabas de concluir que se traduce en la hipótesis y tesis del teorema de Rolle.

Teorema de Rolle:

Hipótesis                                                                                                                

f es continua en [a,b]

f es derivable en (a,b)

f(a)= f(b)

Tesis
 Existe al menos un c que pertenece al intervalo (a,b) tal que f '(c)=0

Ejercicio:
a) Estudiar si se verifica el teorema de Rolle en el intervalo [0, 4 ] de la función:
     

b) ¿y en el intervalos [0 , 0.5]?

Actividad  2:
Dibuja una función continua en [a,b] y derivable en (a,b).¿Existe algún punto de la función donde la tangente en ese punto a la curva sea paralela a la recta que pasa por los puntos A(a,f(a)) y B(b,f(b))?

 Teorema de  Lagrange

Hipótesis:     f  es continua en [a,b]   y f es derivable en (a,b)

Tesis:  Existe al menos un c que pertenece al intervalo (a,b) tal que f '(c) es igual a la pendiente de la recta determinada por los puntos A(a,f(a)) y B(b,f(b)) 

Trabajemos con el siguiente applet realizando los pasos que encuentras debajo de él.

Se ha representado la función f y la recta que pasa por los puntos A(a,f(a)) y B (b,f(b)).

Consideremos el intervalo [a,b] en esta caso en el intervalo [1,8].
 

   Observa y contesta:

• ¿La función f es continua en [a,b]? ¿Es derivable en (a,b)?
• Consideremos la pendiente de la recta AB, ¿podrías averiguarla en función de las coordenadas de los puntos A y B?
• Haz clic en la casilla de control  "pendiente de AB"  para poder ver si lo hiciste correctamente.
• Consideremos una función auxiliar g tal que g(x)= f(x)-kx Haz clic en la casilla de control de " función g" , ¿qué se ha representado? 
• ¿Cuál es la imagen de 1 y de 8 en la función g?  ¿Cumple las hipótesis de Rolle la función g en el intervalo [1,8]? ¿Cómo justificas tu respuesta a la pregunta anterior?
• Según las respuestas de las partes antes citadas ¿podremos asegurar que  g'(c) = 0 para algún c  perteneciente al intervalo (1,8)?
   
• Mueve el punto c sobre el eje x para lograr encontrar el valor de c que verifique lo anterior.
• Para ese valor de c, ¿Como son las rectas AB y la tangente al gráfico de la función  f en c?  ¿Qué podemos asegurar respecto de f'(c) y la pendiente de la recta AB?
   
• A partir de lo que acabas de concluir calcula el valor de k para que la igualdad se cumpla.
   
• Comprueba con el applet el valor de k que hallaste seleccionando la casilla "valor de k".
   

Ejercicios:

1) ¿Se puede aplicar el teorema de Lagrange a f / f(x) = 4x² − 5x + 1 en [0, 2]?

2) ¿Se puede aplicar el teorema de Lagrange a f / f(x) = 1/ x² en [0, 2]?

3) Calcular un punto del intervalo [1, 3] en el que la tangente a la curva f / f(x) = x³ − x² + 2 sea paralela a la recta determinada por los puntos A(1, 2) y B(3, 20). ¿Qué teorema garantiza la existencia de dicho punto?

Bibliografía:

Balparda,O. Lois, L. Sbárbaro,M (2007) Matemática de sexto. Montevideo , Ediciones de la Plaza