¿Cómo utilizamos esto en ecuaciones de segundo grado?

Un poco de historia

Comencemos respondiendo: ¿Cómo resolvían ecuaciones cuadráticas en Babilonia?

En este video verás una de las formas que se conoce, y que hoy resolveríamos con sistemas de ecuaciones.

Transcripción del audio del video

¿Quién fue el primero que escribió la fórmula de la ecuación cuadrática?
Mi idea era contarles la historia desde la ecuación
$ax^2 + bx + c = 0$
hasta llegar a la famosa fórmula:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Sin embargo, me di cuenta de que eso no es posible por dos razones principales.

La primera razón es que la ecuación cuadrática se empezó a resolver desde tiempos de los babilonios y los egipcios, hace más de 4000 años. También se conocía en la antigua cultura china.
Luego, en la Grecia antigua se utilizaron métodos geométricos para resolver estas ecuaciones, y posteriormente, en el año 800 d.C., en Arabia se refinaron estos métodos.
Por lo tanto, no existe una única persona ni una única cultura que haya sido la primera en resolver la ecuación cuadrática.

La segunda razón es que la notación moderna
$ax^2 + bx + c = 0$
recién comenzó a usarse alrededor del siglo XVI.

Por ejemplo, antes de François Viète se utilizaban letras para designar incógnitas, pero no se usaban letras para los parámetros, por lo que no se podía escribir la ecuación como la conocemos hoy.

Este pequeño cambio liberó el álgebra y permitió escribir ecuaciones de manera general, y no solo como casos particulares.

Por eso, en este video (o charla) les voy a mostrar tres métodos antiguos de resolver la ecuación cuadrática, que complementan la fórmula que usamos hoy.

Primer método: Babilonia

Uno de los métodos que se usaban en Babilonia fue descubierto gracias a miles de tablillas de arcilla con inscripciones matemáticas. Muchas de ellas no explican por qué los métodos funcionaban, simplemente planteaban el problema, mostraban el procedimiento, y daban la “receta” para llegar a la solución.

También hay montones de tablillas con tablas de cuadrados y de recíprocos. Puede ser que, al analizarlas, observaran patrones que les permitieran llegar a la solución, aunque no había álgebra ni símbolos, todo se expresaba en forma verbal.

Voy a usar un lenguaje matemático moderno solo para que se entienda mejor.

Un problema típico

Uno de los problemas más comunes era hallar un rectángulo de área y perímetro conocidos.
Por ejemplo: hallar dos números que sumen 6.5 y que multiplicados den 7.5.
Eso equivale a pedir qué rectángulo tiene perímetro 13 y área 7.5.

Nosotros, hoy, lo escribiríamos como un sistema o una ecuación cuadrática.

Para resolverlo, lo que hacían era lo siguiente:
Supongamos que ambos números fueran 13/4. Se cumple la suma, pero si multiplicamos $\frac{13}{4} \cdot \frac{13}{4} = \frac{169}{16}$ , lo cual no da 7.5 (es decir, 15/2).

Entonces los números no son 13/4.

Ahora probamos otra idea: supongamos que uno es un poco más que 13/4. Llamamos a esa diferencia z.
Entonces el otro número es 13/4 menos z.
Al multiplicar estos dos números, debe dar 15/2.

Se arma así una ecuación, y al resolverla, se obtiene que z = 7/4.
Entonces:

$x = \frac{13}{4} + \frac{7}{4} = 5$
$y = \frac{13}{4} - \frac{7}{4} = 1.5$

Y listo.

Método generalizado

En general, si queremos resolver el sistema:

$x + y = a \quad \text{y} \quad x \cdot y = b$

lo que hacían era suponer:

$x = \frac{a}{2} + z \quad \text{y} \quad y = \frac{a}{2} - z$

Esto cumple con la suma, y la multiplicación lleva a una ecuación cuadrática que es fácil de resolver, llegando a:

$z = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 - b}$

Entonces:

$x = \frac{a}{2} + \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 - b}$
$y = \frac{a}{2} - \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 - b}$

Eso es, básicamente, la fórmula cuadrática moderna.
Pero recordá: ellos no escribían la ecuación como $x^2 + bx + c = 0$ .
¡El número cero ni siquiera existía aún!
Ellos daban directamente la receta paso a paso.

Un ejemplo histórico

Una tablilla presenta una ecuación que, en lenguaje moderno, sería:

$x^2 + \frac{2}{3}x = \frac{35}{60}$

El procedimiento era algo así:

Tomá el coeficiente $\frac{2}{3}$
Calculá su mitad → $\frac{1}{3}$
Elevá al cuadrado → $\frac{1}{9}$
Sumalo al otro lado de la ecuación → $\frac{35}{60} + \frac{1}{9}$
Calculá la raíz cuadrada
Restá la mitad del coeficiente inicial

Y eso te da la solución.

Hoy, simplemente usamos la fórmula de Bhaskara. Aunque con notación moderna, es casi lo mismo que hacían hace 4000 años, pero con más símbolos y menos barro cocido.

Bhaskara y su relación con las ecuaciones de segundo grado

Veamos:

Aplicación

En este video se muestra paso a paso cómo resolver ecuaciones cuadráticas con la fórmula general.

En este proceso de solución verás algunos temas complementarios como el de fracciones y números enteros que son necesarios para resolver las ecuaciones cuadráticas.

Transcripción del audio del video

🎓 Explicación del método de la fórmula general para ecuaciones de segundo grado

Buenas noches. Contestando tu pregunta sobre las ecuaciones de segundo grado, he traído uno de los métodos que más se suelen usar para resolver este tipo de ecuaciones: la fórmula general.

La fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado como esta:

$ax^2 + bx + c = 0$

es:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Donde a, b y c son los coeficientes de la ecuación. Estos valores deben ser conocidos o extraídos directamente del enunciado. Solo tenés que reemplazarlos en la fórmula, y con eso vas a obtener las soluciones para $x$ .

Esta fórmula siempre te da dos soluciones, porque toda ecuación cuadrática tiene dos raíces (aunque pueden ser iguales o complejas, dependiendo del caso).

📘 Ejemplo práctico

Vamos a ver un ejemplo con la ecuación:

$x^2 - 2x - 24 = 0$

Aquí:

$a = 1$ (aunque no se ve, está sobreentendido),
$b = -2$ ,
$c = -24$

Reemplazamos estos valores en la fórmula:

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24)}}{2 \cdot 1}$

Paso a paso:

$-(-2) = +2$
$(-2)^2 = 4$
$-4ac = -4 \cdot 1 \cdot (-24) = +96$

Entonces:

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 96}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{100}}{2}$

La raíz cuadrada de 100 es 10, por lo tanto:

$x = \frac{2 \pm 10}{2}$

Ahora resolvemos las dos soluciones:

Primera solución:

$x = \frac{2 + 10}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Segunda solución:

$x = \frac{2 - 10}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

💡 Ventajas de este método

Este método —el de la fórmula general— es rápido, confiable y siempre funciona.
A diferencia del método del aspa simple, donde hay que tantear valores (lo que puede llevar más tiempo), con esta fórmula siempre vas a encontrar la solución, si hacés los pasos correctamente.

La única posible dificultad es calcular la raíz cuadrada, pero en la mayoría de los ejercicios escolares esa raíz es exacta, así que no hay problema.

Espero que esta explicación te haya sido útil. Y si querés ver otros métodos o ejemplos, podés consultarlos en la página web donde ingresaste.
Gracias por tu atención y ¡seguimos ayudándote en lo que necesites!

Manos a la obra

Con lo visto en los videos, intenta resolver las siguientes ecuaciones de segundo grado completa.

$x^{2} + 3 x - 1 = 0$

Identificamos los coeficientes:
$a = 1$ , $b = 3$ , $c = -1$

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}$

✅ Solución:

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{13}}{2}$

$2x^2 - 2x - 4 = 0$

Identificamos los coeficientes:
$a = 1$ , $b = 3$ , $c = -1$

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}$

✅ Solución:

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}$

x²+ 4x + 4 = 0

Coeficientes:
$a = 1$ , $b = 4$ , $c = 4$

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(1)(4)}}{2(1)} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{0}}{2}$ $x = \frac{-4}{2} = -2$

✅ Solución única (doble raíz):

$x = -2$