Elipse: Definición y elementos

Veamos a través del siguiente applet los elementos de una elipse y los parámetros que la definen.

Una elipse es una cónica porque es una sección de un cono con un plano. Puedes observarlo en la imagen.
 

Una elipse es un lugar geométrico.

Definición: Dados dos puntos fijos F y F', llamados focos y una cierta distancia fija 2a, el lugar geométrico de los puntos P, cuya suma de distancias a F y F' es igual 2a, es una elipse

En el siguiente applet tenemos representada una elipse:

 Actividad:

• Veamos primero que esta cónica es simétrica respecto a dos ejes, haciendo clic en la casilla: Ejes de Simetría.
   
• La intersección de dichos ejes es el centro de la cónica. Haz clic en la casilla: Centro.
   
• Dichos ejes cortan a la cónica en cuatro puntos que llamaremos vértices de la misma: A, A', B y B'.
  Haz clic en la casilla: Vértices.
   
• Vuelve a hacer clic en la casilla: Ejes de simetría para ocultarlos.
   
• Según la definición planteada anteriormente, para determinar una elipse necesitamos dos puntos F y F' que llamaremos focos.
  Haz clic en la casilla : Focos para verlos .
  La distancia entre F y F' se llama 2c.
  Por simetría, la distancia de un foco al centro es igual que la distancia del otro foco al centro, así que la distancia entre un foco y el centro de la elipse es c.
   
• El segmento que determinan los vértices A y A' se llama eje mayor de la elipse.
  Haz clic en la casilla: Eje mayor .
  Observa que como el punto A pertenece a la elipse va a cumplir la definición así que :
  d(A,F)+d(A,F')= 2a  pero por simetría d(A,F)=d(A',F') por lo que resulta que d(A,A')= 2a.
   
• El segmento que determinan los vértices B y B' se llama eje menor y la distancias BB' se llama 2b. Haz clic en la casilla: Eje menor.
  
  Mueve los focos y el vértice A para ver cómo varía la forma de la elipse según la posición de ellos.
   
• Hemos visto tres parámetros entonces, a (2a es la constante de la elipse y a es la mitad del eje mayor), b (la mitad del eje menor) y c (la mitad de la distancia entre los focos).
  Piensa: ¿b puede ser mayor que a? ¿pueden ser iguales?
   
• Saca los clic de las casillas con nombres de ejes mayor y menor (para ocultarlos) y haz clic en la casilla: Relación entre los parámetros.
  El b y c es fácil entender porque están marcados en los catetos del triángulo que vemos.
  Veamos que la hipotenusa mide a. Como el vértice B pertenece la elipse, d(B,F)+d(B,F')=2a. Esas dos distancias son iguales por simetría por lo que d(B,F)=a.
  Ahora si aplicamos el teorema de Pitágoras al triángulo que se observa, encontraremos que : .
  Piensa: ¿a puede ser menor que c?
   
• Oculta ahora la Relación entre los parámetros.
   
• Veamos que los puntos de la elipse cumplen con la definición que dimos. Haz clic en la casilla: Constante y dale "play" a la animación que aparece en la esquina inferior izquierda del applet. Observa qué pasa con la suma de las distancias de los puntos P de la elipse a los focos de la misma.

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• Bibliografía:
  Guzmán, M., Cólera, J y Salvador, A. (1998). Matemática. Bachillerato 3. Madrid. Grupo Anaya S.A.